RSM 分析報告 — 棒球打擊揮棒設計最佳化 (CCD)

背景A1. 打擊：運動場上最難的一件事

一顆 145 km/h 的速球，從投手放球點到本壘板只有大約 0.40 秒；扣掉揮棒本身需要的 0.15 秒與大腦決策的 0.10 秒，打者真正能「判斷球種與進壘點」的時間不到 0.15 秒。這就是為什麼職棒選手打擊率 0.300 已算頂尖——七成的打席是失敗的。

正因為成功率天生就低，把每一次揮棒的期望值提高一點點，累積到一季五百多個打席就是可觀的差距。過去球隊靠教練的經驗與選手手感調整；現在有了測速槍、Rapsodo/Trackman 彈道雷達與高速攝影，揮棒的每一個參數都可以量化——這正是把實驗設計 (DOE) 帶進球場的時機。

0 秒145 km/h 速球到本壘的時間（0.40 秒）

0 km/h硬擊球 Hard-Hit 門檻（擊球初速）

0+先發打者一季的打席數

0 runsCCD 一次學會整張反應曲面

打擊教練的兩難：想打得更遠，直覺是換更重的球棒、把攻擊角拉大（往上揮）——但球棒越重揮棒越慢、攻擊角越陡容錯區間越小，揮空率就會上升。「球棒該多重、攻擊角該多大」正是 DOE 反應曲面法要回答的問題。

給製造業學員的對照：這個結構與製程最佳化完全同構——「加大能量以提升良率，卻同時放大缺陷」。把「球棒重量」換成「製程功率」、「揮空率」換成「損傷率」，整套分析邏輯一字不改。

案例A2. 案例設定：為中心打者設計揮棒方案

某職業球隊要為中心打線的打者重新設計揮棒方案。三個因子中，x1 球棒重量（28.6–35.4 oz）與 x2 攻擊角（5.3–18.7°）是球隊可以直接決定與訓練的；x3 來球球速（126.5–153.5 km/h）則由對戰投手決定——這是典型的雜訊因子：球速越快，打者的反應時間越短，同一套揮棒設定的揮空率就會上升。

目標：Y1 擊球初速 ≥ 152 km/h（硬擊球門檻，望大）；Y2 揮空率 ≤ 25%（聯盟平均水準，望小）。兩者天生衝突 → 多反應最佳化。量測：打擊練習每 run 揮擊 60 球，以彈道雷達記錄擊球初速平均值與揮空次數。

力學A3. 打擊力學①：初速從哪裡來 — 兩個動量的相撞

棒球的碰撞物理很直白：球棒與球在約千分之一秒內對撞，球的出速由兩部分組成——來球本身反彈回去的分量，以及球棒推進的分量。加重球棒會讓碰撞效率 q 上升（重的東西撞輕的東西，動量損失少），但同一個打者揮動更重的棒，揮棒速度必然下降。兩個效應方向相反，所以「球棒越重打得越遠」在物理上其實不成立。

擊球初速 ≈ q × 來球速度＋ (1 + q) × 揮棒速度　，其中 q 隨球棒質量遞增、揮棒速度隨球棒質量遞減

對照統計結果：來球球速 x3 的迴歸係數為 +3.602（coded），換算實際單位 ≈ +0.450 km/h 初速 / 每 +1 km/h 球速——投手投得越快，球被打回去也越快，這正是動量反彈項。相較之下球棒重量 x1 的係數只有 +1.367，不到球速項的 2.6 分之一還少：統計數字自己說出了「揮棒速度比球棒重量重要」這個運動科學共識。

力學A4. 打擊力學②：加重球棒的代價 — 初速倒U、揮空率超線性

初速是倒 U 型，不是越重越好：球棒從 28.6 oz 加到約 32.7 oz，初速由 147.9 上升到約 155.4 km/h；再加到 35.4 oz，初速反而掉回 152.5 km/h——揮棒速度的損失開始壓過動量的好處。迴歸完整捕捉到這個曲率：x1² 係數 -1.839（負值 = 有峰值）。

揮空率卻是單調且超線性惡化：同一段區間，揮空率從 22.4% 一路衝到 39.4%，多了 17.1 個百分點。x1 係數 +4.472、x1² 係數 +1.675 皆為正且極顯著——「多一分重量，多好幾分揮空」。

x1·x2 交互作用（+1.050）：重棒配上大攻擊角是雙重打擊——棒子已經揮不快，還要走更長的上仰路徑，容錯區間被壓縮兩次。設定窗是二維的，重量與角度必須一起看（製造業的「製程窗」也是同一回事）。

關鍵洞見：因為初速在 32.7 oz 附近就見頂、而揮空率一路上升，最佳解一定落在初速峰值的「左邊」——用一點點初速換大量接觸機會。這就是為什麼 Desirability 的解會是 30.8 oz 而不是 32.7 oz。

DOEA5. 為什麼用 CCD？20 次打擊測試學會一張曲面

想配適二階曲面，每個因子至少要 3 個水準。若用網格法 5×5×5 = 125 組設定，每組揮 60 球就是 7,500 球——一個球季都測不完。CCD 只用 20 組就同時做到：角點×8 估主效應與交互作用、軸點×6（伸出 ±1.682）估曲率（平方項）、中心點×6 重複量測估計純誤差——這也是能做 Lack-of-Fit 檢定（模型夠不夠用）的關鍵。旋轉式 α=1.682 讓預測變異在等距離處相等，揮棒設定窗每個方向一樣可信。

實務執行：20 組設定以隨機順序分散在 5 個訓練日進行（見數據表的 Run 欄），避免打者疲勞與熱身狀態成為系統性偏差——這就是 DOE 的隨機化 (randomization) 原則。中心點 6 次分散在不同日重複，量到的就是「同樣設定、不同日子」的真實變異。

🎛️ A6. 虛擬打擊模擬器 — 拖動滑桿，體驗揮棒設定的取捨（由 RSM 精簡模型即時預測）

球棒重量：32.0 oz　🏏 攻擊角：12.0 ° 來球球速（對手投手決定的雜訊因子）：140 km/h

預測擊球初速--硬擊球門檻 152 km/h

預測揮空率--上限 25%，越低越好

綜合期望值 D--0（差）～ 1（理想）

模型：擊球初速與揮空率之精簡二階迴歸式（Adj-R² = 98.8% / 98.9%）。試著在面對 148 km/h 強投時同時做到初速 ≥ 152 km/h 且揮空率 ≤ 25%，再對照第 6 節 Desirability 的數學解。

Part B｜RSM 統計分析報告（完整數據與圖表）

以下為本案例的正式統計分析：ANOVA、Lack-of-Fit、迴歸方程式、反應曲面、Desirability 最佳化與殘差診斷

★ 執行摘要：建議揮棒設定（Maximize Desirability）

在最壞情況：面對 148 km/h 強投下，以綜合期望函數（擊球初速望大：148→0、158→1；揮空率望小：28→0、18→1；等權重、幾何平均）最佳化：

球棒重量30.8 oz(x1=-0.59)

攻擊角11.4°(x2=-0.16)

預測擊球初速153.7 km/h≥ 152 ✓

預測揮空率23.5%≤ 25% ✓

綜合期望值 D0.508d1=0.57, d2=0.45

標稱球速 140 km/h 時最佳點：31.5 oz、12.1° → 初速 151.4 km/h、揮空率 22.1%（D=0.449）。

與現況的對比：球隊目前中心打者普遍使用 34 oz 球棒、攻擊角 16°（追求全壘打）。同樣面對 148 km/h 強投，該設定預測初速 152.2 km/h、揮空率高達 37.4%（D=0.000，已落在可行區外）。改用建議設定後，初速不減反增 +1.5 km/h，揮空率下降 13.9 個百分點（相對降低 37%）。

教練建議：球棒重量取 30.5–31.5 oz、攻擊角 10–12°。切勿以「換更重的棒」來追求長打——初速在約 32.7 oz 就見頂，之後不升反降，而揮空率仍持續超線性上升。面對高球速投手時應再減輕約 0.7 oz 換取反應時間。建議於推薦設定執行 3 個訓練日的確認測試，並追蹤實戰的 Barrel% 與 xwOBA 驗證。

1. 實驗設計與數據

CCD 旋轉式設計（α=1.682）：2³ 全因子 8 runs + 軸點 6 runs + 中心點 6 runs（黃底，用於估計純誤差）。每一 run 於打擊練習揮擊 60 球，以彈道雷達記錄擊球初速平均值與揮空率。Run 欄為實際執行的隨機順序。

Std	Run	x1	x2	x3	球棒(oz)	攻擊角(°)	球速(km/h)	初速(km/h)	揮空率(%)
1	11	-1	-1	-1	30	8	132	139.7	16.9
2	13	-1	-1	1	30	8	148	148.7	21.8
3	20	-1	1	-1	30	16	132	145.6	20.0
4	12	-1	1	1	30	16	148	151.9	25.0
5	14	1	-1	-1	34	8	132	145.3	22.9
6	8	1	-1	1	34	8	148	152.5	30.2
7	10	1	1	-1	34	16	132	146.6	30.2
8	7	1	1	1	34	16	148	152.1	37.6
9	2	-1.682	0	0	28.6	12	140	144.0	20.7
10	6	1.682	0	0	35.4	12	140	148.8	34.9
11	18	0	-1.682	0	32	5.3	140	143.2	21.8
12	4	0	1.682	0	32	18.7	140	146.8	29.5
13	16	0	0	-1.682	32	12	126.5	145.4	18.0
14	9	0	0	1.682	32	12	153.5	158.0	29.0
15	17	0	0	0	32	12	140	152.0	21.7
16	3	0	0	0	32	12	140	152.0	22.6
17	5	0	0	0	32	12	140	151.9	23.1
18	19	0	0	0	32	12	140	151.7	23.2
19	1	0	0	0	32	12	140	151.0	23.5
20	15	0	0	0	32	12	140	152.2	23.1

2. 因子顯著性 — Pareto 圖（完整二階模型）

橘色 = 顯著（p<0.05）；灰色 = 不顯著。擊球初速的 x3²、x1·x3 不顯著——球速對初速的貢獻是線性的動量反彈，沒有曲率；揮空率的 x3²、x2·x3 不顯著。兩個反應都由 x1（球棒重量）與 x2（攻擊角）主導，但方向相反：這正是需要多反應最佳化的原因。

3. ANOVA 與缺適性檢定（Lack-of-Fit）— 完整二階模型

Y1：擊球初速 Exit Velocity

來源 Source	DF	SS	MS	F	p-value
模型 Model	9	351.51	39.06	222.9	<0.0001
x1	1	25.53	25.53	145.7	<0.0001
x2	1	18.87	18.87	107.7	<0.0001
x3	1	177.18	177.18	1011.0	<0.0001
x1^2	1	48.56	48.56	277.1	<0.0001
x2^2	1	78.28	78.28	446.7	<0.0001
x3^2	1	0.02	0.02	0.1	0.7376
x1*x2	1	8.41	8.41	48.0	<0.0001
x1*x3	1	0.85	0.85	4.8	0.0528
x2*x3	1	2.42	2.42	13.8	0.0040
殘差 Residual	10	1.75	0.175
缺適性 Lack-of-Fit	5	0.85	0.170	0.95	0.5230
純誤差 Pure Error	5	0.90	0.180
總和 Total	19	353.26

單位：(km/h)²。缺適性 p = 0.5230 > 0.05 → 二階模型適足 (adequate)。

Y2：揮空率 Whiff Rate

來源 Source	DF	SS	MS	F	p-value
模型 Model	9	555.17	61.69	184.0	<0.0001
x1	1	273.19	273.19	815.0	<0.0001
x2	1	84.40	84.40	251.8	<0.0001
x3	1	136.02	136.02	405.8	<0.0001
x1^2	1	41.30	41.30	123.2	<0.0001
x2^2	1	12.54	12.54	37.4	0.0001
x3^2	1	0.43	0.43	1.3	0.2841
x1*x2	1	8.82	8.82	26.3	0.0004
x1*x3	1	2.88	2.88	8.6	0.0150
x2*x3	1	0.01	0.01	0.0	0.9052
殘差 Residual	10	3.35	0.335
缺適性 Lack-of-Fit	5	1.30	0.260	0.63	0.6863
純誤差 Pure Error	5	2.05	0.411
總和 Total	19	558.53

單位：%²。缺適性 p = 0.6863 > 0.05 → 二階模型適足 (adequate)。

4. 精簡模型與迴歸方程式

Y1: 擊球初速精簡模型

S = 0.467 km/h

R² = 99.26%

Adj-R² = 98.83%

Pred-R² (PRESS) = 97.43%

Y2: 揮空率精簡模型

S = 0.562 %

R² = 99.32%

Adj-R² = 98.93%

Pred-R² (PRESS) = 98.28%

係數表（coded units）— 擊球初速

項 Term	係數 (coded)	SE	t	p
常數 Constant	151.820	—	—	—
x1	1.367	0.126	10.82	<0.0001
x2	1.175	0.126	9.30	<0.0001
x3	3.602	0.126	28.50	<0.0001
x1^2	-1.839	0.122	-15.02	<0.0001
x2^2	-2.334	0.122	-19.07	<0.0001
x1*x2	-1.025	0.165	-6.21	<0.0001
x2*x3	-0.550	0.165	-3.33	0.0060

係數表（coded units）— 揮空率

項 Term	係數 (coded)	SE	t	p
常數 Constant	23.016	—	—	—
x1	4.472	0.152	29.43	<0.0001
x2	2.486	0.152	16.35	<0.0001
x3	3.156	0.152	20.76	<0.0001
x1^2	1.675	0.147	11.38	<0.0001
x2^2	0.915	0.147	6.22	<0.0001
x1*x2	1.050	0.199	5.29	0.0002
x1*x3	0.600	0.199	3.02	0.0106

迴歸方程式（coded units：x1、x2、x3 ∈ [−1.682, +1.682]）

擊球初速 = 151.82 +1.37·x1 +1.18·x2 +3.60·x3 −1.84·x1² −2.33·x2² −1.03·x1·x2 −0.55·x2·x3

揮空率 = 23.02 +4.47·x1 +2.49·x2 +3.16·x3 +1.68·x1² +0.92·x2² +1.05·x1·x2 +0.60·x1·x3

迴歸方程式（actual units：P = 球棒重量 oz、A = 攻擊角 °、V = 來球球速 km/h）

擊球初速 = -0.017188·A·V − 0.14588·A² − 0.12813·P·A − 0.45979·P² + 0.65647·V + 10.3011·A + 31.6477·P − 506.519

揮空率 = 0.057211·A² + 0.0375·P·V + 0.13125·P·A + 0.41883·P² − 0.80553·V − 4.9516·A − 31.3941·P + 544.2982

物理解讀：擊球初速的 x1² 為負（-1.84）→ 球棒重量存在最適峰值，過重反而下降；揮空率的 x1² 為正（+1.68）→ 重量對揮空的傷害是超線性的。兩個平方項符號相反，正是「甜蜜點必然偏離初速峰值」的數學根源。x1·x2 交互作用（揮空率 +1.05）顯示重棒與大攻擊角的傷害會相乘，不能分開調。

5. 反應曲面圖 Response Surface（3D）與等高線圖 Contour

5.1 擊球初速 @ 來球 148 km/h（強投最壞情況）— 紅色為 152 km/h 硬擊球門檻

5.2 擊球初速 @ 來球 140 km/h（標稱）

5.3 揮空率 @ 來球 148 km/h（強投最壞情況）— 紅色為 25% 上限

對照 5.1 與 5.3 是本報告的核心：初速的高原落在球棒偏重處，揮空率的低谷卻落在球棒偏輕處——兩張圖的最佳區不重疊，必須靠第 6 節的期望函數做取捨。

6. 多反應最佳化 — Desirability 期望函數

d1(擊球初速，望大)：148→0、158→1；d2(揮空率，望小)：28→0、18→1；D = √(d1·d2)。幾何平均的意義是任一項為 0 則整體為 0——不允許用一個指標的優異去掩蓋另一個指標的失敗。

重疊等高線圖（Sweet Spot / 可行揮棒設定窗）

綠色區域同時滿足「初速 ≥ 152 km/h」與「揮空率 ≤ 25%」。星號為 Desirability 最佳解（30.8 oz / 11.4°），紅色 ✕ 為球隊現況（34 oz / 16°）——現況明顯落在可行區之外，且是被揮空率那條界線擋住的。

7. 殘差診斷（模型假設檢查）

殘差對配適值無系統性趨勢（等變異成立），常態機率圖近似直線（Shapiro–Wilk p = 0.89 / 0.51，不拒絕常態）。揮空率有一點標準化殘差為 −2.50，經 Bonferroni 校正後的外部學生化離群檢定 p = 0.109 > 0.05，不構成離群值，予以保留。迴歸模型假設成立，可用於預測。

8. 結論與後續行動

① 兩個反應之二階模型均高度顯著（p<0.0001），缺適性檢定不顯著（初速 p=0.5230、揮空率 p=0.6863），Pred-R² 與 Adj-R² 差距小（1.4 / 0.7 個百分點），模型可用於預測與揮棒設定窗定義。 ② 「換更重的球棒才打得遠」是錯的。擊球初速對球棒重量呈倒 U，峰值約在 32.7 oz，之後不升反降；而揮空率從 28.6 oz 到 35.4 oz 單調上升 17 個百分點。兩者相加，最佳解必然落在初速峰值偏輕的一側。 ③ 來球球速是雜訊因子（對手決定）：球速每 +1 km/h，擊球初速 +0.45 km/h（動量反彈，對打者有利），但揮空率 +0.39 個百分點（反應時間變短，對打者不利）。因此設定窗必須以面對強投的最壞情況驗證。 ④ 建議設定：球棒 30.8 oz、攻擊角 11.4°，面對 148 km/h 強投時預測初速 153.7 km/h（超過門檻 1.7 km/h）、揮空率 23.5%（低於上限 1.5 個百分點）。相較現況（34 oz / 16°）初速 +1.5 km/h、揮空率 -13.9 個百分點。 ⑤ 後續：於建議設定執行 3 個訓練日的確認測試（追蹤 Barrel%、xwOBA、實戰三振率）；若要進一步提升，可將握棒位置（choke-up）、開步時機、重心轉移幅度納入下一輪 DOE。本案例的三因子只解釋了打擊的一部分，但已足以推翻一個代價高昂的直覺。

方法論收穫（跨產業通用）：① 兩個反應變數的平方項符號相反時，最佳解一定是妥協解，不會落在任一單項的極值上。② 不可控的雜訊因子（來球球速／製程排隊時間／環境溫濕度）不能忽略，要用它的最壞水準來驗證設定窗。③ Lack-of-Fit 檢定需要重複的中心點——這是 CCD 相對於單純網格搜尋最容易被忽略、卻最關鍵的價值。